Kolmnurga nurkade summa. Teoorm kolmnurga nurkade summa kohta

Kolmnurk on hulknurk, millel on kolm külge (kolm nurki). Enamasti tähistatakse külgi väikeste tähtedega, mis vastavad suurtähtedele, mis tähistavad vastupidiseid tippe. Selles artiklis tutvustame nende geomeetriliste jooniste tüüpe, teoreemi, mis määrab, milline kolmnurga nurkade summa on võrdne.

Nurkade liigid

Kolm tipuga on polügooni tüüpi:

• Nurga all teravate nurkadega;
• Ristkülikukujuline, millel on üks täisnurk, samal ajal kui seda moodustavaid külgi nimetatakse jalgadeks, ja külge, mis asetseb vastupidise nurga all, nimetatakse hüpotenuuseks;
• Nägemiseks, kui üks nurk on nüri ;
• Triparameetrid, milles mõlemad pooled on võrdsed, ja neid nimetatakse külgmisteks ja kolmas on kolmnurga alus;
• Võrdne külg, millel on kõik kolm võrdset külge.

Omadused

Eraldage põhitunnused, mis on iseloomulikud iga kolmnurga tüübi jaoks:

• Suuremale küljele on alati suurem nurk ja vastupidi;
• Võrdsed küljed on vastassuunalised ja vastupidi;
• Igal kolmnurgal on kaks teravat nurka;
• Väline nurk on suurem kui mis tahes sisemine nurk, mis ei ole selle kõrval;
• Kahe nurga summa on alati alla 180 kraadi;
• Väline nurk võrdub ülejäänud kahe nurga summaga, mis ei takista seda.

Teoorm kolmnurga nurkade summa kohta

Teoreem kinnitab, et kui lisate antud geomeetrilise jooni kõik nurgad, mis paiknevad Eukleidese tasapinnal, siis on nende summa 180 kraadi. Proovime seda teoreemi tõestada.

Olgu meil CMN-i tippude omavoliline kolmnurk. Tõstame sirge sirgjoont KNiga sirgjoont (seda sirgjoont nimetatakse ka Eukleideseks jooneks). Selle juures markeerime punkti A selliselt, et punktid K ja A paiknevad sirgjoonel MN vastaskülgedel. Me saame võrdsed nurkad AMN ja CNM, mis, nagu sisemised, asuvad ristlõikes ja moodustavad sekantse MN koos sirgetega KN ja MA, mis on paralleelsed. Sellest järeldub, et M ja H tippude kolmnurga nurkade summa on võrdne MRA nurga suurusega. Kõik kolm nurka moodustavad summa, mis võrdub MRA ja MKN nurkade summaga. Kuna need nurgad on üksteisega võrdsed paralleelsete ridade KN-i ja MA-ga koos sekant-CM-iga, on nende summa 180 kraadi. Teoreem on tõestatud.

Tagajärg

Ülaltoodud teoreemist tuleneb järgmisest järeldusest: igal kolmnurksel on kaks ägedat nurka. Selle tõestamiseks eeldame, et antud geomeetrilisel kujutisel on ainult üks terav nurk. Võib eeldada, et ükski nurgad pole teravad. Sellisel juhul peab olema vähemalt kaks nurka, mille väärtus on vähemalt 90 kraadi. Kuid siis nurkade summa on üle 180 kraadi. Ja see ei saa olla, sest vastavalt teoreemile on kolmnurga nurkade summa 180 ° - mitte enam ja mitte vähem. Seda oli vaja tõestada.

Välisnurgaga vara

Mis on välise kolmnurga nurkade summa? Sellele küsimusele saab vastust, kasutades ühte kahest meetodist. Esimene on see, et on vaja leida nurkade summa, mis võetakse üksteisest iga tipu, st kolme nurga all. Teine viitab sellele, et peame leidma kõigi kuue nurga summa tippides. Esiteks, me selgitame välja esimese võimalusega. Nii on kolmnurk kuus välimist nurka - kaks igast tipust. Igal paaril on võrdsed nurgad, kuna need on vertikaalsed:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Lisaks on teada, et kolmnurga välimine nurk on võrdne kahe sisemise nurga summaga, mis seda ei häiri. Seetõttu

∟1 = ∟À + ∟, ∟2 = ∟ À + ∀В, ∀3 = ∀В + ∟ С.

Sellest järeldub, et välisnurkade summa, mis võetakse ühelt igal tipul, on võrdne:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + α ⊂ √ ∟ À Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â 2 × (∟ Å Â Â Â Â Â Â Â Â).

Arvestades, et nurkade summa on 180 kraadi, võime öelda, et ≈A + ≈B + ≃C = 180 °. See tähendab, et ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 × 180 ° = 360 °. Kui kasutatakse teist võimalust, kuue nurga summa on vastavalt kaks korda suurem. See tähendab, et kolmnurga välisnurkade summa on järgmine:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

Ristkülik kolmnurk

Milline on terava kolmnurga nurkade summa? Sellele küsimusele vastatakse jälle teoreemist, mis kinnitab, et kolmnurga nurgad summas on 180 kraadi. Ja meie avaldus (vara) kõlab järgmiselt: ristkülikukujulise kolmnurga teravate nurkade summa annab 90 kraadi. Tõestame oma tõesust. Anname CMN-i kolmnurga, mille puhul ∠H = 90 °. On vaja tõestada, et ∀K + ≈ M = 90 °.

Seega, vastavalt teoreemile nurkade summa K + ∟M + ∘H = 180 °. Meie seisundis on öeldud, et H = 90 °. Nii selgub, et K + ≈M + 90 ° = 180 °. See tähendab, et K + ∟M = 180 ° - 90 ° = 90 °. Seda me peaksime tõestama.

Lisaks parempoolse kolmnurga ülalkirjeldatud omadustele saate lisada järgmised andmed:

• Nurgad jalgade vastu on teravad;
• Hüpotenoos on kolmnurksem kui ükskõik milline jalg;
• Jalade summa on suurem kui hüpotenuus;
• Kolmekordse kateeter, mis asetseb 30-kraadise nurga all, on poole väiksem hüpotenuus, mis on võrdne poole võrra.

Selle geomeetrilise joonise teise omadusena võib eristada Pythagorean teoreemi. Ta väidab, et 90-kraadise nurga kolmnurga (ristkülikukujuline) puhul on jalgade ruutude summa võrdne hüpotenuuse ruuduga.

Kolmekordse kolmnurga nurkade summa

Varem me ütlesime, et võrdõiguslikkus on hulknurk, mille kolmest tipust on kaks võrdset külge. Antud geomeetrilise kujundi selline omadus on teada: nurgad selle alguses on võrdsed. Tee seda tõestada.

Võtke kolmnurga CMN, mis on võrratu, CN on selle aluseks. Me peame tõestama, et ∟K = ∟H. Nii et oletame, et MA on meie kolmnurga CMN bisector. Kolmnurk MKA, mille esimene võrdsuse märk on võrdne kolmnurga MNA-ga. Nimelt on tingimusel, et CM = NM, MA on tavaline külg, ∟1 = ∟2, kuna MA on bisector. Kasutades nende kahe kolmnurga võrdsust, võime väita, et ∟K = ∟H. Seega on teoreem tõestatud.

Kuid me oleme huvitatud kolmnurga nurkade (ühetaolised) summast. Kuna selles osas ei ole sellel oma eripära, alustame eelnevalt käsitletud teoreemist. See tähendab, et võime öelda, et ∀K + ∀M + ∘H = 180 ° või 2 × ∟K + ∟M = 180 ° (kuna ∟K = ∟H). Me ei tohi seda vara tõestada, sest kolmnurga nurkade teoreem on eelnevalt tõestatud.

Kolmnurga nurgadest vaadeldavate omaduste kõrval on ka sellised olulised avaldused:

• Madalamale kolmnurga alusele alandatud kõrgus on samaaegselt keskmine, võrdne külgede vahel olev nurga bisector, samuti selle aluse sümmeetriatelg ;
• Sellise geomeetrilise kuju külgedele tõmmatud mediaanid (bisektiirid, kõrgused) on võrdsed.

Võrdkülgne kolmnurk

Seda nimetatakse ka õigeks, see on kolmnurk, milles kõik pooled on võrdsed. Ja seetõttu on ka nurgad võrdsed. Igaüks neist on 60 kraadi. Andke see kinnisvara tõestada.

Oletame, et meil on CMNi kolmnurk. Me teame, et KM = HM = KH. Ja see tähendab, et vastavalt alumises kolmnurga alusele asetsevate nurkade omadusele on ⋆K = ∟M = ∟H. Kuna vastavalt teoreemile on kolmnurga nurkade summa K + όM + ∘H = 180 °, siis 3 × ∟K = 180 ° või ∟K = 60 °, ≈M = 60 °, H = 60 °. Seega on väide tõendatud. Nagu ülaltoodud tõestusest tuleneb teoreemi põhjal, on võrdkülgse kolmnurga nurkade summa , nagu mõne muu kolmnurga nurkade summa, 180 kraadi. Seda teoreemi pole vaja uuesti tõestada.

Samuti on samaväärse kolmnurga omadused sellised omadused:

• Selline geomeetriline joon langeb kokku keskmise, bisectori pikkusega ja nende pikkus on (a × √3): 2;
• Kui me kirjeldame teatud hulknurga ümber ringi, on selle raadius (a x √ 3): 3;
• Kui lisame võrdse kolmnurga ringi, on selle raadius (ах √3): 6;
• Selle geomeetrilise näitaja pindala arvutatakse järgmise valemi abil: (a2 x √3): 4.

Tühi kolmnurk

Tülike kolmnurga määratluse kohaselt on üks nurkidest vahemikus 90-180 kraadi. Kuid arvestades, et selle geomeetrilise näitaja kaks nurka on teravad, võime järeldada, et need ei ületa 90 kraadi. Järelikult töötab kolmnurga nurkade summa teoreem nurkade summa arvutamisel tühjal kolmnurgas. Selgub, võime kindlalt kinnitada ülaltoodud teoreemile, et nurga summa kolmnurk on 180 kraadi. Jällegi ei vaja see teoreem uuesti tõendamist.