Võrrandi lennuk: kuidas teha? Tüübid lennuk võrrandid

Lennuk ruumi saab määratleda erinevalt (üks punkt ja vektor, vektori ja kaks punkti, kolm punkti, jne). See on seda silmas pidades, lennuk võrrandi võib olla erinevat tüüpi. Ka teatud tingimustel tasapinna võib olla paralleelselt, risti, lõikuvate jne Selle ja rääkida selles artiklis. Õpime tegema üldise võrrandi lennuk ja mitte ainult.

Tavapärane vorm võrrand

Oletame R on ruum _3, mis on täisnurkse koordinaatsüsteemis XYZ. Meie mõistes vektorit α, mis ilmub lähtepunktist O. Läbi lõppu vektori α joonistada tasapinna P, mis on sellega risti.

Olgu P suvalisse punkti Q = (x, y, z). Raadius vektor punktis Q märk kirjas lk. Pikkus vektori võrdub α p = IαI ja Ʋ = (cosa, cosβ, cosγ).

See ühikvektori, mis on suunatud suunas nagu vektor α. α, β ja γ - on nurgad, mis moodustuvad vahel vektori ja positiivse suundades Ʋ ruumi teljed x, y, z võrra. Projektsiooni punktist vektori QεP Ʋ on konstant, mis on võrdne p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Ülaltoodud võrrand omab tähendust kui p = 0. Ainus n tasapinna sel juhul ületaksite punkt O (α = 0), mis on päritolu ja ühikvektori Ʋ, vabastatakse punktis O saab risti P, kuigi selle suunas, mis tähendab, et vektor Ʋ määrati kuni märk. Eelmine võrrand on meie lennuk P, väljendatud vektori abil. Arvestades aga selle koordinaadid on:

P on suurem või võrdne 0. Oleme leidnud tasapinna võrrandi tavalises vormis.

Üldvõrrand

Kui võrrandis koordinaadid korrutada suvalise arvu, mis ei ole võrdne nulliga, saame võrrandi samaväärsed käesoleva mis määratleb väga tasandis. See kuju on järgmine:

Siin, A, B, C - on mitmeid üheaegselt nullist erinev. See võrrand nimetatakse võrrandi üldkuju lennuk.

Võrrandid lennukeid. erijuhud

Võrrand võib üldiselt olla modifitseeritud täiendavad tingimused. Mõtle mõned neist.

Oletame, et koefitsient A on 0. See näitab, et paralleelne etteantud telje Ox. Sel juhul kujul võrrandi vahetab: Wu + Cz + D = 0.

Samamoodi kujul võrrandiga ja need sõltuvad järgmised tingimused:

• Esiteks, kui B = 0, võrrand muudatusi Ax + Cz + D = 0, mis näitaks paralleelne teljega Oy.
• Teiseks, kui C = 0, võrrand muundub ax + by + D = 0, so umbes paralleelselt etteantud telje Oz.
• Kolmandaks, kui D = 0, võrrand ilmub ax + by + Cz = 0, mis tähendaks, et lõikab O (päritolu).
• Neljandaks, kui A = B = 0, siis võrrandi muudatusi Cz + D = 0, mis osutub paralleelsus Oxy.
• Viiendaks, kui B = C = 0, siis Võrrand Ax + D = 0, mis tähendab, et lennuk on paralleelne Oyz.
• Kuuendaks kui A = C = 0, võrrand vormiks Wu + D = 0, st annab aru paralleelsus Oxz.

Vorm võrrandis segmendid

Juhul kui numbrite A, B, C, D nullist erinev, kujul võrrandiga (0) võivad olla järgmised:

x / a + y / b + z / c = 1,

kus a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Saame tulemusena võrrandi lennuk tükkideks. Tuleb märkida, et see tasand lõikab x-telge punktis koordinaatidega (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) ja Oz - (0,0, s).

Arvestades võrrandi x / a + y / b + z / c = 1, siis ei ole raske visualiseerida paigutuse tasapinna suhtes etteantud koordinaatide süsteemi.

Koordinaate ühikvektori

Ühikvektori n tasapinnaga P koordinaadid on mis on koefitsientide Üldvõrrand tasapinnaga, st n (A, B, C).

Selleks, et määrata koordinaadid normaalset n, piisab teada üldist võrrandit antud tasapinna.

Kasutades võrrandis segmendid, mis on vormistatud x / a + y / b + z / c = 1, nagu kasutades Üldvõrrand saab kirjutada koordinaadid tahes ühikvektori antud tasapinna: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Tuleb märkida, et tavaline vektor aidata lahendada erinevaid probleeme. Kõige enam probleeme on, kuhu tõendava risti või paralleelsed, ülesande leida nurgad tasandite vahel või nurgad tasandite vahel ja sirgjooned.

Tüüp vastavalt tasapinna võrrandi ja koordinaadid punkti ühikvektori

Nullist erinev vektor n risti antud tasapinna, nimetatakse normaalne (normaalne) kuni etteantud tasandis.

Oletame, et koordineerida kosmose (a ristkoordinaatide süsteem) Oxyz määrata:

• Mₒ punkt koordinaatidega (hₒ, uₒ, zₒ);
• nullvektor n = A * i + B * j + C * k.

Teil on vaja teha võrrandi lennuk, mis läbib Mₒ punkt risti normaalne n.

Ruumis valime suvalise punkti ja tähendavad M (x, y, z). Olgu raadiuse vektorit iga punkti M (x, y, z) on r = x * i + y * j + z * k ja raadiuse vektorit punktini Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Punkt M hakkavad kuuluma antud tasapinna, kui vektor MₒM olema risti vektoriga n. Me kirjutada seisukorda orthogonality kasutades skalaarkorrutis:

[MₒM, n] = 0.

Kuna MₒM = r-rₒ vektor võrrandi lennuk näeb välja selline:

[R - rₒ, n] = 0.

See võrrand võib olla ka teistsuguse kujuga. Selleks omadusi skalaarkorrutis ja muundada vasakul pool võrrandit. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Kui [rₒ, n] tähistatakse s, saame järgmise võrrandi kohaselt: [r, n] - a = 0 või [r, n] = s, mis väljendab püsivuse projektsioonide ühikvektori raadiusest-vektorid antud punktid, mis kuuluvad tasandis.

Nüüd saad koordinaatide tüüpi printimisseadme tasapinna meie vektori võrrandi [r - rₒ, n] = 0. Kuna r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k ja n = A * i + B * j + C * k, meil:

Selgub, et meil on võrrand on moodustatud läbiv punktini risti normaalse n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Tüüp vastavalt tasapinna võrrandi ja koordinaadid kahte aspekti vektori kollineaame

Meie mõistes kahe suvalise punkti M '(x', y ', z') ja M "(x", y ", z"), samuti vektor (a ', viitab ", et ‴).

Nüüd saame kirjutada võrrandi ettemääratud tasapinnaga, mis läbib olemasolevat punkti M 'ja M "ja iga punkti koordinaatide M (x, y, z) paralleelne antud vektor.

Seega M'M vektorite x = {x ', y-y'; zz '} ja M "M = {x" -x', y 'y'; z "-y"} peaks olema tasapinnaline vektori a = (a ', viitab ", et ‴), mis tähendab, et (M'M M" M, a) = 0.

Nii et meie võrrandi lennuk kosmoses näeb välja selline:

Tüüp lennuk võrrand, ületades kolm punkti

Oletame meil on kolm aspekti: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Have ‴, z ‴), mis ei kuulu samale. On vaja kirjutada võrrandi läbib kolm punkti täpsustatud. geomeetria teooria väidab, et selline lennuk ei eksisteeri, see on lihtsalt üks ja ainus. Kuna see lõikab punkti (x ', y', z '), selle Võrrandina oleks:

Siin, A, B ja C on nullist erinev samaaegselt. Ka antud lõikab veel kaks aspekti (x ", y", z ") ja (x ‴, y ‴, z ‴). Sellega seoses tuleks läbi selline tingimused:

Nüüd saame luua ühtne süsteem võrrandid (lineaarne) ja tundmatud u, v, w:

Meie puhul x, y või z tähistab suvalise punkti, mis vastab võrrandi (1). Arvestades võrrandi (1) ja võrrandite süsteemi (2) ja (3) v~orrandisüsteemil joonisel näidatud eespool vektor rahuldab N (A, B, C), mis on nontrivial. On, sest määrav süsteem on null.

Võrrand (1), et meil on see võrrand lennukiga. 3 punkti ta tegelikult läheb, ja see on lihtne kontrollida. Selleks me laiendada determinant elementidega esimeses reas. Olemasolevate omaduste determinanti järeldub, et meie lennuk samaaegselt lõikub kolme algselt etteantud punkti (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Nii et me otsustasime ülesanne ees.

Avamisnurka tasapindade vahel

Avamisnurka on ruumilise geomeetrilise kujundi moodustatud kahe poole lennukid, mis pärinevad sirgjoon. Teisisõnu, ruumi osa, mis on piiratud pool lennukeid.

Oletame, et meil on kaks lennuk järgmiste valemite abil:

Me teame, et vektor N = (A, B, C) ja N¹ = (à¹, H¹, S¹) vastavalt etteantud lennukid on risti. Seoses sellega nurga φ vektorite vaheline N ja N¹ võrdne nurgaga (dihedral), mis asub nende vahel tasapinnal. Skalaarkorrutise on antud:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

just sellepärast

cos = NN¹ / | N || N¹ | = (ï ¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ ( ² + s² + V²)) * (√ (à¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Piisab arvates 0≤φ≤π.

Tegelikult kahel et ristuvad, moodustavad kaks nurka (kahetahuline): φ ₁ ja φ _2. Nende summa on võrdne: (φ ₁ + φ ₂ = π). Nagu nende koosinustega, nende absoluutväärtusi on võrdsed, kuid nad on erinevad märgid, see tähendab, cos φ ₁ = cos φ _2. Kui võrrandis (0) asendatakse A, B ja C-A, -B ja -C vastavalt võrrandi, saame, mis määravad samal tasapinnal, ainus nurga φ võrrandis cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | See asendatakse π-φ.

Võrrandi risti tasapinnaga

Kutsunud risti tasapinnaga, mille vahel on nurk 90 kraadi. Kasutades esitatud materjaliga eespool leiame võrrandi asetseb risti teise. Oletame, et meil on kaks kihistust: ax + by + Cz + D = 0 ja + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Me ei saa öelda, et nad on ortogonaalsed, kui cos = 0. See tähendab, et NN¹ = ï ¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Võrrandi paralleelse tasapinna

Ta viitas kaks paralleelsed, mis ei sisalda ühisjooni.

Tingimuseks on paralleelsed (nende võrrandid on samad nagu eelmises punktis) on see, et vektorid N ja N¹, mis on nendega risti, sirgel. See tähendab, et järgmised tingimused on täidetud proportsionaalsuse:

A / ๠= B / C = H¹ / S¹.

Kui proportsionaalselt paljundatakse - A / ๠= B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

näitab see, et andmete lennuk sama. See tähendab, et võrrandi ax + by + Cz + D = 0 kuni + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 kirjeldama ühte tasapinda.

Kaugus punktist lennuk

Oletame, et meil on lennuk P, mis antud (0). On vaja leida kauguses koordinaatidega (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. Sa pead tooma võrrandi lennuk II normaalne välimus, et see:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Sel juhul ρ (x, y, z) on raadius vektor meie baas Q, mis asub P, P - on pikkus risti P, mis ilmus nullpunktist, v - on ühikvektori, mis asub suunas.

Erinevus ρ-ρº raadiusega vektorit punktini Q = (x, y, z), mis kuulub n ja raadiusega vektorit konkreetses punktis Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) on selline vektor, absoluutväärtus projektsioon mille kohta v võrdub kauguse d, mis on vajalik leida Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, kuid

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Nii selgub,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Nüüd on selge, et arvutada kaugus d vahemikus ₀ kuni Q tasapinna P, on vaja kasutada tavavaatesse tasapinna võrrandis nihke vasakule p ja viimane koht x, y, z asendaja (hₒ, uₒ, zₒ).

Seega leiame absoluutväärtus saadud ekspressiooni, mis on vajalik d.

Kasutades parameetrid keele, saame ilmne:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (Â ² + V² + s²).

Kui etteantud punkt Q ₀ paikneb teisel pool tasapinda P origin, siis vahel vektori ρ-ρ ⁰ ja v on nürinurga, seega:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Juhul, kui punkt Q ₀ koostoimes päritolu asub samal pool U, teravnurk on loodud, mis on:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Tulemuseks on see, et esimesel juhul (ρ ^0, v)> p, teises (ρ ^0, v)

Ja puutujatasand võrrand

Mis puutub tasapinna pinna puutepunkt Mº - tasapind, mis sisaldab kõiki võimalikke puutuja kõveraga tõmmatakse läbi selles punktis pinnal.

Selle pinna kujul võrrandiga F (x, y, z) = 0 võrrand puutujatasandist puutuja punktis Mº (hº, uº, zº) oleks:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Kui pind on seatud selgesõnaliselt z = f (x, y), siis puutujatasandist kirjeldab võrrand:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Ristumiskohas kaks lennukit

In kolmemõõtmelises ruumis on koordinaatsüsteemis (ristkülikukujulise) Oxyz, arvestades kahe tasapinna P 'ja P', mis kattuvad ja ei lange. Kuna igal tasapinnal, mis on ristkülikukujulise koordinaatsüsteemis määratletud üldisel võrrandi eeldame, et n 'ja n "on defineeritud võrrandite A'x + V'u S'z + + D' = 0 ja A-" + B x '+ y Mis "z + D" = 0. Sel juhul on meil normaalne n '(A', B ', C') tasapinna P 'ja tavalise n "(A", B ", C") tasapinna P'. Kuna meie lennuk ei ole paralleelsed ja ei lange, siis pole need vektorid sirgel. Kasutades matemaatika keeles, meil on see tingimus võib kirjutada: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Ja", λ * In ", λ * C"), λεR. Olgu sirge mis asub ristumiskohas P "ja P", siis tähistatakse tähega a, sel juhul a = P "∩ P".

ja - joont, kuhu kuuluvad paljudes punktides (sage) lennukid P-ga ja P ". See tähendab, et koordinaatide tahes punkti, mis kuulub rida a, peab samaaegselt rahuldavad võrrandit A'x + V'u S'z + + D '= 0 ja A-"x + B' + C y" z + D "= 0. See tähendab, et koordinaatide punkt pannakse erilist lahus järgmiste valemite abil:

Tulemuseks on see, et lahus (üldine) käesoleva v~orrandisüsteemi määrab koordinaate iga aspekti liinil, mis toimib ristumiskohta P-ga ja P "ja määravad liini koordinaatsüsteemis Oxyz (ristkülikukujulise) ruumis.