Sine teoreem. Kolmnurkade lahendamine

Kolmnurga uurimine tõstatab tahtmatult küsimuse nende suhete ja nurkade suhte arvutamise kohta. Geomeetriaga annab selle probleemi lahendamiseks kõige täiuslikum lahendus kosinuse ja sinine teoreem. Erinevate matemaatiliste väljendite ja valemite arvukus, seadused, teoreemid ja reeglid on sellised, et need erinevad erakordselt harmoonilisest, lühemast ja lihtsamast nendes sisalduva tähenduse edastamisel. Sine teoreem on sellise matemaatilise sõnastuse erksaim näide. Kui suulises tõlgenduses on mõni matemaatiline reegel mõista ka mõni takistus, siis kui vaatate matemaatilist valemit, siis kõik koheselt paigutatakse.

Esimene teave selle teoreemi kohta leiti selle tõestuse vormis Nasir ad-Din Al-Tusi matemaatilise töö raames, mis pärinevad 13. sajandist.

Mõne kolmnurga aspekti ja nurkade arvestamisel lähemale tuleb märkida, et sinine teoreem võimaldab lahendada palju matemaatilisi probleeme, samas kui see geomeetria seadus leiab selle rakenduse eri tüüpi praktilistes inimtegevustes.

Sine teoreem ise ütleb, et iga kolmnurga puhul on iseloomulik vastupidiste nurkade külgade proportsionaalsus. Teine osa on ka käesolevast teoreemist, mille kohaselt kolmnurga mis tahes külje suhe vastupidise nurga sinusse on võrdne vaadeldava kolmnurga lähedal kirjeldatud ringi diameetriga .

Valemi kujul näeb see väljend välja

A / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

On sünteetilise tõestamise teoreem, mida mitmesugustes õpikute versioonides pakutakse rikkalikult erinevaid versioone.

Näiteks kaaluge ühte tõenditest, mis selgitavad teoreemi esimest osa. Selleks seadisime eesmärgiks tõestada väljendi a SinC = C Sina

Me omakohases kolmnurgas ABC konstrueerime kõrguse BH. Ühes ehituse variandis asetseb H joonel segment AC ja teises väljaspool selle piiri, sõltuvalt kolmnurkade tippude nurkadest. Esimesel juhul võib kõrgust väljendada kolmnurga nurkade ja külgede poolest, kuna BH = a sinC ja BH = c sinA, mis on nõutav tõend.

Juhul, kui punkt H asub väljaspool segmendi AC piire, saame saavutada järgmised lahendused:

BH = sinC ja BH = c sin (180-A) = c sinA;

Või BH = sin (180-C) = a sinC ja BH = c sinA.

Nagu näete, on ehituse võimalustest hoolimata jõudnud soovitud tulemuseni.

Teoreemi teise osa tõendamiseks tuleb meil kirjeldada ringjoont ümber kolmnurga. Mõõdetud kolmnurga kõrgusel, näiteks B-st, ehitame ringi läbimõõdu. Pöörake ringi D punkti kolmnurga kõrguselt, nii et see oleks kolmnurga punkt A.

Kui me arvestame sellest tulenevad kolmnurgad ABD ja ABC, siis võime märkida nurgad C ja D võrdsed (need põhinevad ühel kaarel). Arvestades, et nurk A on üheksakümmend kraadi, siis sin D = c / 2R või sin C = c / 2R vastavalt vajadusele.

Sine teoreem on lähtepunktiks paljude erinevate probleemide lahendamiseks. Spetsiaalne atraktsioon on selle praktiline rakendus, kuna teoreemi tagajärjel suudame seostada kolmnurga külgede, vastaskülgede ja ringjoone raadiuse (läbimõõdu) väärtusi, mis on piiratud ümber kolmnurga. Selle matemaatilise väljundi kirjeldava valemi lihtsus ja ligipääsetavus võimaldasid seda teoreemi laialdaselt kasutada erinevate mehaaniliste loendamisseadmete (logaritmilised joonlauad, tabelid jms) probleemide lahendamiseks, kuid isegi mehe teenistuses võimas arvutusseadmete saabumine ei vähendanud selle teoreemi asjakohasust.

See teoreem ei sisaldu mitte ainult keskkooli geomeetria kohustuslikus kursuses, vaid seda rakendatakse ka teatud praktilises tegevuses.