Mis on aritmeetiline? Põhiõiguste teoreem aritmeetika. binaarne aritmeetika

Mis on aritmeetiline? Kui inimkond hakkas kasutama numbreid ja teha nendega? Kui on oma juured igapäevaelu mõisted nagu numbrid, fraktsioonid, lahutamine, liitmine ja korrutamine, et isik on teinud lahutamatu osa oma elust ja väljavaated? Kreeka mõtetes imetleda näiteks teadused matemaatika, aritmeetika ja geomeetria, kui ilus sümfoonia inimese loogika.

Võibolla matemaatika ei ole nii sügav kui teiste teaduste, kuid mis juhtuks neile inimesed unustavad elementaarne korrutamine tabelid? Tuttav meile loogiline mõtlemine, kasutades numbreid, fraktsioonid ja muud vahendid, et anda inimestele raske, ja pikka aega ei olnud kättesaadav meie esivanemad. Tegelikult enne arengule aritmeetika ei ala inimeste teadmised ei olnud tõeliselt teadusliku.

Aritmeetika - Matemaatika on tähestik

Aritmeetika - teaduse numbrid, mille iga üksiku algab tuttav koos põnev maailm matemaatika. Sõnu M. V. Lomonossov, aritmeetika - värav õppimise, avades tee meid Miropoznanie. Aga tal on õigus, on teadmised maailmast saab eraldada teadmised tähtede ja numbrite matemaatika ja kõne? Ehk vanasti, kuid mitte tänapäeva maailmas, kus kiire areng teaduse ja tehnoloogia muudab oma seadused.

Sõna "aritmeetika" (Gk. "Arifmos") Kreeka päritolu tähendab "number". Ta uurib arvu ja kõik, mis võib olla seotud nendega. See on maailma numbrid: erinevate toimingute arvu, numbriline eeskirjad, ülesanded, mis on seotud paljunemise, lahutamine, ja nii edasi ..

On üldtunnustatud, et esimene samm on aritmeetilise Mathematics ja tugeva aluse keerukamate sektsioonid, näiteks algebra, matemaatilise analüüsi, kõrgem matemaatika ja t. D.

Peamine eesmärk aritmeetilise

Alusel aritmeetiline - on täisarv, omadused ja seadused, mida peetakse kõrgeima aritmeetiline või arvuteooria. Tegelikult, kuidas õige on võetud arvesse nii väike üksus, kui naturaalarv, mis sõltub tugevust hoone - matemaatika.

Seega on küsimus, mis on aritmeetiline, vastus on lihtne: see on teadus numbrid. Jah, umbes tavaline seitse, üheksa, ja kõik see mitmekesine kooslus. Ja sama hästi, ja kõige keskpärase salmid ei saa kirjutada ilma põhihariduseta tähestikku, ilma aritmeetika ei saa lahendada isegi põhiülesandeid. Sellepärast kõik teadused on arenenud alles pärast arendamist aritmeetika ja matemaatika, olles peamiselt eelduste.

Aritmeetika - teadus-kummitus

Mis on aritmeetiline - loodusteaduste või fantoom? Tegelikult, nagu Vana-Kreeka filosoofid põhjendatud, numbreid ei mingeid summasid tegelikult ei eksisteeri. See on lihtsalt phantom, mis on loodud inimese mõtlemises vaatamise keskkonna ja selle protsesse. Tegelikult, mis on number? Kusagil ümber me ei näe midagi, mida võiks nimetada mitmeid pigem arv - see on viis uurida maailma inimmõistuse. Võibolla see uuring on meil sees ise? Filosoofid väidavad selle sajandeid järjest, nii et saada ammendav vastus me ei tegele. Mõlemal juhul aritmeetiline võiks nii kindlalt võtta oma positsiooni tänapäeva maailmas keegi ei saa pidada sotsiaalselt kohandatud teadmata oma sihtasutused.

Nagu oli positiivne täisarv

Muidugi, peamine eesmärk, mis tegutseb aritmeetika, - looduslikest number nagu 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... jne Aritmeetika füüsiline numbrid on tulemus arvel tavaliste objektide, nagu lehmad heinamaal. Ikka, mõiste "palju" või "vähe", kui midagi on lakanud hoidke inimesed, ja pidid leiutada keerukamaid loendamise tehnikat.

Aga tõeline läbimurre tuli siis, kui inimmõistus on jõudnud punkti, mis võib olla üks ja sama arvu "kaks" tähistamiseks ja 2 kg ja 2 tellistest ja 2 osa. Asjaolu, et see on vajalik abstraheeruda vorme, omadusi ja tähendus esemeid, siis saame teatud meetmeid nende objektide kujul positiivsed täisarvud. Nii sündis aritmeetiline numbreid, mis on edasi arenenud ja seda on laiendatud istuvad positsiooni ühiskonnas.

Selline põhjalik mõiste number, kui null ja negatiivsed arvud, fraktsioonid, numbrid viitavad numbrid muul viisil, on rikas ja huvitav ajalugu areng.

Aritmeetika ja praktiline egiptlased

Kaks iidse inimese kaaslane uuring maailma ja igapäevaelu probleemide lahendamisel - see aritmeetika ja geomeetria.

Arvatakse, et ajaloo aritmeetiline sai alguse Vana-Ida: India, Egiptus, Babüloonia ja Hiina. Niisiis, Rhind papüürus Egiptuse päritolu (nii nimetatakse, sest sama nime omanikule kuuluv), mis ulatuvad tagasi XX sajandil. BC lisaks muid väärtuslikke andmeid on laienemine murdosa summas fraktsioonid erinevate nimetajate ja lugeja võrdne ühega.

Näiteks: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Aga mida tähendab sellise kompleksi lagunemine? Asjaolu, et Egiptuse lähenemine ei talu ammutatud mõelda numbrid, vastupidi, arvutused tehti ainult praktilistel eesmärkidel. See tähendab, egiptlased on tegelenud sellise ettevõtte nagu arvutused, ainult selleks, et ehitada haud, näiteks. See oli vaja arvutada pikkus fin struktuur ja ta tegi inimene istuda papüürus. Nagu võib näha, Egiptuse edusamme arvutused kutsuti pigem tohutu hoone, mitte armastuse teaduse.

Sel põhjusel arvutused leitud papyri, ei saa nimetada peegeldusi teemal fraktsioonid. Tõenäoliselt see on praktiline ettevalmistus, mis aitas veelgi probleeme lahendada murdudega. Vanad egiptlased ei tea korrutustabelit, toodetud üsna pikk arvutused, laiali paljudesse alamülesanded. Võibolla see on üks neist alamülesanded. See on lihtne märgata, et arvutused nende toorikud on väga aeganõudev ja ei ole väga paljulubav. Võibolla sel põhjusel me ei näe suur panus iidse Egiptuse matemaatika.

Vana-Kreeka ja filosoofilisi aritmeetilise

Paljud teadmised Ancient East edukalt õppinud kreeklased, tuntud fännid abstraktne, abstraktne ja filosoofilisi peegeldus. Praktikas neid huvitatud midagi vähem, kuid parim teoreetikud ja mõtlejad on raske leida. See oli hea teaduse sest matemaatika ei ole võimalik minna sügavale, ei rebides see tegelikkusega. Muidugi on võimalik korrutada 10 lehma ja 100 liitrit piima, kuid ei saa liikuda kaugele.

Kreeklased mõtlemine sügavalt jätnud suure märgi ajalugu ja nende teoste tulnud meile:

• Euclid ja "Elements".
• Pythagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Ja muidugi, pöördub kõik filosoofia on kreeklaste, eriti järgijaid Pythagoras juhtudel oli nii kirglik numbrid, mis peetakse neid mõistatus maailma harmooniat. Numbrid on nii õppinud ja uurinud, et mõned neist ja nende paaride omistatud eriomadused. Näiteks:

• Täiuslik numbrid - need, mis on summa kõiki selle jagajate arvatud mitmeid iseenesest (6 = 1 + 2 + 3).
• Friendly numbrid - need numbrid, millest üks on summa kõikide jagajate teise ja vastupidi (Pythagorase teada vaid üks selline paar: 220 ja 284).

Kreeklased, kes uskusid, et teadus peaks olema armastatud, ei oleks ta pärast kasu, on teinud suuri edusamme, uurides, mängides ja lisades numbrid. Tuleb märkida, et mitte kõik nende uuringute on laialdaselt kasutatud, mõned neist olid ainult "ilu".

Ida mõtlejad keskajal

Samamoodi keskajal aritmeetiline see võlgneb oma arengu ida eakaaslased. Indiaanlased andis meile arvud, et me aktiivselt kasutada sellist asja nagu "null" ja positsiooni erinevused arvutamise süsteem, tavaline kaasaegne arusaam. Alates Al-putru, mis 15. sajandil töötas Samarkand, oleme pärinud kümnendkohtade, ilma milleta on raske ette kujutada tänapäeva aritmeetika.

Paljuski Euroopa tuttavaks saavutusi Ida sai võimalikuks tänu tööle Itaalia teadlane Leonardo Fibonacci, kes kirjutas raamatu "Liber abaci", tutvudes idamaise uuendusi. Sellest on saanud nurgakiviks arengu algebra ja aritmeetika, teadusuuringute ja teaduslikku tegevust Euroopas.

Vene aritmeetilise

Lõpuks aritmeetika, on leidnud oma koha ja juurdunud Euroopas hakkas levima Vene maad. Vene esimese aritmeetika avaldatud 1703. aastal - see oli raamat aritmeetiline Leontiya Magnitskogo. Pikka aega oli ainus õpetus matemaatika. See sisaldab algushetkedesse algebra ja geomeetria. Arvud, mida kasutati näidetes Venemaa esimese õpiku aritmeetika, araabia. Kuigi araabia numbritega varem kohtunud, on gravüürid, mis pärineb 17. sajandist.

Raamat ise on kaunistatud pilte Archimedes ja Pythagoras, ja esimesel lehel - pilt aritmeetilise naine. Ta istub troonil, selle all on kirjutatud heebrea sõna Jumala nime, ja sammud, mis viivad altari, kirjutatud koos sõna "jagamine", "kasv", "Lisaks", ja nii edasi. D. Võib ainult ette kujutada, milline väärtus reetis nagu tõde, mis peetakse praegu tavalised.

Õpik 600 lehekülge kirjeldab alusena nagu liitmine ja korrutamine tabelid ja taotlused navigatsiooni Sciences.

Pole üllatav, et autor on valinud pildi Kreeka mõtlejad tema raamat, sest ta ise oli lummatud ilu aritmeetika, öeldes: "Aritmeetika on chislitelnitsa seal oled õiglane, nezavistnoe ...". See lähenemine aritmeetika on põhjendatud, sest see on tema laialdast kasutuselevõttu võib pidada alguses kiire areng teadusliku mõtlemise Venemaa ja üldhariduse.

rahutu algarvu

Algarvude - see on loomulik arv, mis on vaid 2 positiivsete jagajate: 1 ja ise. Kõik muud numbrid, välja arvatud 1 nimetatakse komposiit. Näiteid algarvu: 2, 3, 5, 7, 11 ja kõik teised, mis ei ole jagajate va 1 ja number ise.

Nagu number 1, siis on lisatasu - on kokkulepe, et tuleb arvestada ole lihtne ega ühend. Simple esmapilgul lihtne number varjab palju lahendamata saladused jooksul ise.

Euclid teoreemi ütleb, et lõpmatu arv algarvu ja Eratosthenes tulid eriline aritmeetika "sõela", mis kõrvaldab keeruline numbrid, jättes ainult lihtne.

Oma olemuselt on rõhutada esimese kustutuse number, ja sellele järgnevas silmatorkav välja need, mis on kordselt seda. Me seda protseduuri korrata mitu korda - ja saada tabeli algarvu.

Põhiõiguste teoreem aritmeetika

Hulgas tähelepanekut algarvu vaja spetsiaalselt mainida põhilised aritmeetika teoreem.

Basic aritmeetika teoreem väidab, et iga suurem täisarv 1 või lihtne või see võib jaotada toode algarvu kuni järjekorras kordamine tegurid, on ainus võimalus.

Põhiõiguste teoreem aritmeetika osutunud üsna tülikas ja mõista see ei ole nagu lihtsalt põhitõdesid.

Esmapilgul algarvude - elementaarne mõiste, kuid see ei ole. Füüsika ka kord kaaluda elementaarne aatom, kuni ta leidis sees universumis. Primes pühendatud ilus lugu matemaatik Don Zagier "Esimene viiskümmend miljonit algarvu."

Alates "kolm õunad" e deduktiivne seadused

See tõeliselt võib nimetada tugevdatud vundamendiks teaduse - seaduste aritmeetika. Juba lapsena kõik aritmeetiline nägu, uurides mitmeid jalgade ja käte nukud arv kuubikud, õunad ja nii edasi. D. Nii me uurime aritmeetika, mis siis progresseerub keerulisem eeskirjadega.

Meie kogu elu tutvustab meile reegleid aritmeetika, mis olid ühise mees kõige kasulikum kõik, et teadus annab. Uuring numbrid - see on "Aritmeetika-beebi", mis tutvustab mees maailma numbrite numbrit varases lapsepõlves.

Kõrgem Aritmeetika - deduktiivne teadus, mis uurib seaduste aritmeetika. Enamik neist teame, kuigi võib-olla me ei tea nende täpset sõnastust.

Õiguse liitmine ja korrutamine

Iga kahe täisarvu a ja b võib olla väljendatud summa a + b, mis on ka loomulik number. Seoses Lisaks järgmised seadused:

• Kommutatiivne, mis ütleb, et permutatsiooni poolest paigutab summa ei muutu, või a + b = b + a.
• Assotsiatiivne, et nimetatud summa ei sõltu meetod rühmitades tingimuste kohtades või + (b + c) = (a + b) + c.

Reeglid aritmeetika, nagu liitmine, - üks põhilisi, kuid neid kasutatakse kõikide teaduste, rääkimata igapäevaelus.

Iga kahe täisarvu a ja b saab väljendada toote või b * a * b, mis on ka loomulik number. Kohaldada toote sama kommutatiivne ja assotsiatiivne seadusi lisamist:

• a * b = b * a olnud
• a * (b * c) = (a * b) * c.

On huvitav, et on olemas seadus, mis ühendab liitmine ja korrutamine, tuntud ka kui jaotusvõrgu ega jaotamisest õiguse:

a (b + c) = ab + ac

See seadus õpetab meile töötada sulgudes, avades neile seega saame juba töötavad keerukamaid valemeid. Need on seadused, mis viib meid läbi omapärane, kuid keerulises maailmas algebra.

Law aritmeetiline et

umbes seaduste inimese loogika ta kasutab iga päev kontrollida oma kella ja lugedes arveid. Ja siiski, ja see tuleks arvesse konkreetse keele.

Kui meil on kaks positiivset täisarvu a ja b, siis järgmiste valikute

• a on võrdne b või a = b;
• vähem kui b või a
• a on suurem kui b või a> b.

Kolme variandi lihtsalt võib olla ainult üks. Põhiseadus, mis reguleerib menetlust, ütles: kui a

On ka seadusi, mis seovad tegevuse järjekorras liitmine ja korrutamine: kui a

Seadused aritmeetiline meile õpetanud töötada numbrid, tähised ja sulgudes, keerates kõik harmooniliseks sümfoonia numbrid.

Positional ja nonpositional numeratsioonile

Me ei saa öelda, et numbrid - see on keel, matemaatika, alates mugavuse mis sõltub paljudest asjadest. Seal on palju süsteeme arvutamise, mis nagu tähti erinevates keeltes erinevad.

Vaatleme arvu süsteemi löögipunktile seisukohti kvantitatiivne väärtus kohaline selles asendis. Näiteks Roman süsteem on nonpositional kus iga numbri kodeerivad konkreetsele erimärgid: I / V / X / L / C / D / M. Nad on vastavalt numbrid 1/5/10/50/100/500 / 1000. Selles süsteemis on see näitaja ei muutu selle kvantitatiivne määramine, sõltuvalt millise seisukoha ta peaks: .. esimene, teine jne Et saada muid numbreid, on vaja sätestada alus. Näiteks:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Rohkem tuttav meile Arvusüsteem kasutades araabia numbritega on positsiooniline. Sellise süsteemi arvu heakskiidu määratleb numbritele, näiteks kolmekohalised arvud: 333, 567, jne Kaalu tahes tühjenemise sõltub asendis, mil see näitaja üks või teine, näiteks joonis 8 teises asendis on väärtusega 80. On tüüpiline detsimaalsüsteem on muidki positsiooniline süsteem nagu binaarsed.

binaarne aritmeetika

Tunneme detsimaalsüsteem, mis koosneb ühe-bitine ja multi-bitine numbrid. Joonisel vasakul on kohaline number on kümme korda suurem tähtsus üks paremale. Niisiis, me kasutasime lugeda 2, 17, 467, ja nii edasi. D. See on teistsugune loogika ja lähenemine lõik, mida nimetatakse "binaarne aritmeetika." See ei ole üllatav, sest binaarne aritmeetika ei loodud inimese loogika ja arvuti. Kui aritmeetiline numbrid pärit loendamist, mis omakorda ammutatakse suhtes vara "alasti" aritmeetika, siis see ei tööta teie arvutis. Et oleks võimalik jagada oma teadmisi arvuti, mees tuli leiutada mudelarvutusel.

Binary aritmeetiline töötab kahendtähestikus, mis koosneb ainult 0 ja 1. Ja kasutada seda tähestikku nimetatakse kahendsüsteemi.

Erinevalt binaarne aritmeetika koma mis tähtsust positsiooni vasakul ei ole enam 10 ja 2 korda. Binary numbrid on kujul 111, 1001 ja nii edasi. D. Kuidas me peaksime mõistma need numbrid? Seega arvame arv 1100

1. Esimene number vasakul - 1 * 8 = 8, pidades silmas, et neljas number, mis tähendab, et tuleb korrutada 2, saame 8. positsioonil.
2. Teine number 1 * 4 = 4 (positsioon 4).
3. Kolmas number 0 * 2 = 0 (positsioon 2).
4. Neljas number 0 * 1 = 0 (asend 1).
5. Nii et meie number 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

See tähendab, et üleminek uuele kategooria vasakul selle tähtsus kahendsüsteemi korrutatakse 2 ja koma - kuni 10. Selline süsteem on üks puudus: see on liiga suur kasv bitti, mis on vajalikud, et salvestada numbreid. Näited koma numbrid dvochinyh nagu näha järgnevas tabelis.

Koma numbrid on esindatud Kahendvormis allpool.

Seda kasutatakse ka kaheksand ja kuueteistkümnendsüsteemi numeratsioonile.

See salapärane aritmeetilise

Mis on aritmeetika, "kaks pluss kaks" või avastamata saladused numbrid? Nagu näete, aritmeetika, saab, ja tundub esmapilgul lihtne, kuid see ei ole ilmne petlik lihtsus. On võimalik õppida lapsed, ja koos tädi Owl peace "Aritmeetika-beebi", ja te saate sukelduda sügavale teadusuuringute peaaegu filosoofiline järjekorras. Ajaloos on läinud lugedes objektide kummardama ilu numbrid. Üks asi on kindel: asutamist põhipostulaatidest aritmeetika, kõik teaduse saab tugineda tema tugev õla.