Fourier. Fourier '. Diskreetne Fourier

Fourier transformatsiooni - ümberkujundamine, seostades teatud funktsiooni tegelik muutuja. See operatsioon toimub iga kord, me tajume erinevaid helisid. Kõrva toodab automaat "arvutamine", mis täidavad meie teadvuse võimalik alles pärast seda, sektsiooni kõrgem matemaatika. kuulmise elundi inimesel transformatsiooni konstrukte, milles heli (harilikud vibratsioonilistel liikumise osakesi elastsest vormist, mis levivad lainekujudele tahkes, vedelas või gaasilises keskkonnas) on esitatud erinevaid järjestikuse väärtuse helitugevustase toonid erineva kõrgusega. Pärast seda, aju lülitab info kõik tuttavad heli.

Matemaatiline Fourier

Conversion helilainete või muu vibratsiooni protsessid (valgus heitmete ja ookeani loodete ja tähe või päikese tsüklit) saab teostada ja abil matemaatiliste meetoditega. Seega, kasutades neid meetodeid, mille funktsioonid on võimalik laiendada, lisades vibratsioonilistel protsessides sinusoidi komponendid, st lainelised kõverad mis lähevad minimaalselt maksimaalselt ja siis jälle miinimumini, nagu merelainele. Fourier transformatsiooni - tulukompensatsioon mis kirjeldab faasis või amplituudi iga siinussignaali vastab kindlale sagedusele. Faas on alguspunkt kõvera ja amplituud - tema kõrgusest.

Fourier (näited on toodud pildil) on väga võimas vahend, mida kasutatakse erinevates valdkondades teaduse. Mõningatel juhtudel kasutatakse seda lahusena küllaltki keerukas võrrandeid, mis kirjeldavad dünaamilise toimuvate protsesside mõjul valguse, kuumuse või elektrienergiaks. Muudel juhtudel, see võimaldab teil määrata regulaarselt komponendid keeruline signaalid, tänu sellele saab olla tõsi tõlgendada eri eksperimentaalsed tähelepanekud keemias, meditsiinis ja astronoomia.

ajalooline teave

Esimene inimene, kes seda meetodit kohaldatakse oli Prantsuse matemaatik Zhan Batist Fure. Conversion, hiljem tema nime, algselt kirjeldamiseks kasutatakse soojusjuhtivuse mehhanism. Fourier kogu oma täiskasvanud elu tegelenud uurides soojuse omadustest. Ta tegi tohutu panuse matemaatilise teooria määramise juured algebraline võrrandid. Fourier oli professor analüüsi École Polytechnique, sekretär Instituudi egüptoloogia, oli keiserliku teenus, mis põhjustas segatakse ajal maantee ehitus Torino (tema juhtimisel oli kuivendatud üle 80.000 ruutkilomeetrit malaaria sood). Kuid kõik see aktiivsus ei takistanud teadlane tegeleb matemaatilise analüüsi. 1802. jõuti tuletatud võrrand, mis kirjeldab levimisel soojusena kuivained. 1807. aastal, teadlane avastas meetodi sellest võrrandist, mis sai tuntuks kui "Fourier".

soojusjuhtivus analüüsi

Teadlased kasutasid matemaatilist meetodit kirjeldada soojusjuhtivuse mehhanism. Mugavaks Näiteks erineb raskusteta arvutusvõimsus on paljundamine soojusenergia raud tsükkel, teiselt poolt üleni tulekahju. Teostada katseid Fourier red hot osa ring ja matta teda peenliivasel. Seejärel temperatuuri mõõtmiseks tehtavad vastassuunas osa. Esialgu soojuse jaotumine on ebakorrapärase: ringi osana - külma ja teine - hot piirkondade vahelisel Võib täheldada järsku temperatuurigradient. Kuid ajal soojust jaotuse metalli pinnale, muutub ühtsemaks. Niisiis, varsti see protsess võtab kujul sinusoid. Esimese graafikul järk-järgult suureneb ja väheneb ka sujuvalt, korrektselt seaduste variatsiooni koosinuse või siinusfunktsiooni. Laine võrdsustatakse järk-järgult ning selle tulemusena temperatuuri ühtlustub üle kogu pinna ring.

Autor seda meetodit eeldada, et esialgne jaotus on üsna ebaregulaarne võib jaotada mitme elementaarne sine lained. Igaüks neist on oma faasis (algasendist) ja selle maksimaalne temperatuur. Seega on need komponendid muudatusi minimaalselt maksimaalselt ja tagasi täispöörde ümber tuuma täisarv korda. Komponent, millel on periood, mida kutsuti oluline harmooniline ja väärtust kahe või mitme perioodi - teine ja nii edasi. Näiteks matemaatiline funktsioon, mis kirjeldab maksimumtemperatuur, faasi või asendit nimetatakse Fourier jaotusfunktsioon. Teadlane tõi ühe komponendi, et on raske matemaatiline kirjeldus, lihtne-to-use tööriistad - rida sine ja koosinuse, summas andes esialgse levitamise.

Sisuliselt analüüs

Rakendades seda analüüsi muundamisel soojuse jaotust tahke objekt, millel rõngakujuline, matemaatik põhjendatud, et suurendada aja sinusoidi osad viia kiire summutamine. See on selgelt näha põhi- ja teine harmoonilised. Lõpliku temperatuur ulatub kahekordse maksimaalse ja minimaalse väärtuse ühe käiguga ning esimeses - ainult üks kord. Selgub, et vahemaa, mille soojust teises harmooniline on pool tuum. Lisaks gradient teisel poolel on samuti järsem kui esimene. Seega, kuna intensiivsem soojusvoo läbib lesk minimaalne kaugus, siis see tuleb summutada harmooniline neli korda kiiremini kui peamine, kui aja funktsiooni. Järgnevas protsessi veelgi kiiremini. Matemaatik Arvatakse, et see meetod võimaldab meil välja arvutada protsessi esialgne jaotus temperatuuri aja jooksul.

kõne kaasaegsed

Fourier algoritm on saanud väljakutse teoreetilise aluse matemaatika ajal. Alguses XIX sajandil, silmapaistvamaid teadlasi, sealhulgas Lagrange, Laplace, Poissoni Legendre'i ja Biot ei nõustunud tema väitega, et temperatuuri esialgse jaotuse lagundatakse komponendid kujul põhilisi laine ja kõrgema sagedusega. Kuid Teaduste Akadeemia ei saa ignoreerida saadud tulemusi matemaatik ja andis talle auhinna teooria soojusjuhtivus seaduste, samuti läbi selle võrdlus füüsilise eksperimente. Fourier 'lähenemise peamine vastuväide on asjaolu, et katkev funktsioon on tingitud summa mitut sinusoidi funktsioone, mis on pidev. Lõppude lõpuks on nad kirjeldavad lõhkemist sirge ja ringjoont. Kaasaegse teadlane oli kunagi tekkinud selline olukord, kui katkendlik kirjeldatud funktsioone kombinatsioon pidev, nagu kvadraat- lineaarne, sine või väljapanija. Juhul kui matemaatik oli õigus oma väiteid, summa lõpmatu rida trigonomeetriatehteid tuleks täpselt piiratud kiirust. Kuigi selline nõue tundus absurdne. Kuid vaatamata kahtlusi mõnede teadlaste (nt Claude Navier, Sofi Zhermen) laiendas teadus- ja tõi nad ära analüüsi soojuse levimist. Matemaatika, vahepeal jätkuvalt kannatavad küsimus, kas summa mitu sinusoidi funktsioone vähendatakse täpne esitus lõhkemist.

200-aastase ajaloo

See teooria on arenenud üle kahe sajandi täna on lõpuks moodustatud. Tänu ruumilise või ajalise funktsioonid jagatud sinusoidi komponendid, mis on sagedus, faasi ja amplituudi. See konversioon saadakse kahe erineva matemaatilisi meetodeid. Esimene neist kasutatakse juhul, kui allikas on pidev funktsioon ja teine - juhul kui see on esindatud hulgaliselt diskreetseid üksikute muutusi. Kui ekspressioon on saadud väärtusi, mis on määratletud diskreetsete intervallidega, siis võib jagada mitmeks eraldiseisvaks sinusoidi sagedustel väljendeid - madalaimast ja seejärel kahekordistunud, kolmekordseks jne kõrgemal fundamentaalse tähtsusega. See summa nimetatakse Fourier rida. Kui esialgse ilme määrab väärtus iga tõeline number, seda saab jaotada mitme sinusoidi kõiki võimalikke sagedusi. Seda nimetatakse Fourier 'integraal ja otsuse tähendab ümberkujundamine lahutamatu funktsioon. Sõltumata sellest, millist saamise transformatsiooni igale sagedusele peaks näitama kaks numbrit: amplituud ja sagedus. Need väärtused on väljendatud ühe keerulise number. Expression kompleksi muutujate teoreetilisest koos Fourier transformatsiooni teostama arvutusi lasti projekteerimise erinevate elektriliste lülituste analüüsil mehaanilist vibratsiooni, õpetusele levimise mehhanism ja muud.

Fourier täna

Tänapäeval uuringu selle protsessi põhimõtteliselt taandub leida tõhusaid meetodeid üleminekut funktsiooni teisendada see tagasi tuleb. See lahendus on nn otsene ja pöördvõrdeline Fourier. Mis see tähendab? Et määrata lahutamatu ja teha otsene Fourier, mida saab kasutada matemaatilisi meetodeid, kuid saate Analytic. Vaatamata sellele, et kui neid kasutatakse praktikas on mõningaid raskusi, kõige integraalid on juba tuvastatud ja märgitud matemaatilise käsiraamatud. Tänu numbrilised meetodid saab arvutada väljendeid, mille kuju põhineb katseandmed, funktsioon, mille integraalid tabelites on puudu, ja neid on raske ette kujutada, analüütiliselt kaudu.

Enne tulekut arvuti arvutustes sellised muutused on olnud väga tüütu, nad vajavad käsitsi täitmise suur hulk aritmeetilisi tehteid, mis sõltuvad nende kohtade arvu, mis kirjeldavad laine funktsioon. Et hõlbustada lahendamise täna on olemas spetsiaalsed programmid, lubatud rakendada uusi analüüsimeetodeid. Niisiis, aastal 1965, Dzheyms Kuli ja Dzhon Tyuki loodud tarkvara, mis sai tuntuks kui "Fourier". See säästab aega arvutamiseks arvu vähendamisega multiplikatsioonide analüüsi kõver. "Fourier" Meetod põhineb jagades kõver viiakse suur hulk ühtseid diskreetimisväärtustega. Seega multiplikatsioonide arvu väheneb poole võrra samal arvu vähendamise aspekti.

Rakendades Fourier

Seda protsessi kasutatakse erinevates valdkondades: In arvuteooria, füüsika, signaalitöötluse, Kombinatoorika, tõenäosusteooria, krüptograafia, statistika, okeanograafia, optika, akustika ja muud geomeetriaga. Rich võimalusi selle kasutamiseks põhinevad mitmeid kasulikke omadusi, mida kutsutakse "omadusi Fourier transformatsiooni." Uurigem neid.

1. muundamise funktsioon on lineaarne operaator ja vastava normaliseerumine on ühtse. See majutusasutus tuntakse Parseval teoreem, või üldise juhul teoreem Plansherelja või Pontrjagin dualism.

2. konversioon on pöörduv. Lisaks vastupidise tulemuseni on üsna samasugusel kuju nagu see on otsene tegelemine.

3. sinusoidi põhi väljendid on oma diferentseeritud funktsioone. See tähendab, et sellise esitusega muudab lineaarvõrrandeid konstantsete kordajatega tavalisel algebraline.

4. Vastavalt "keeru" teoreem protsess teeb keerulise operatsiooni elementaarne korrutamist.

5. diskreetsed Fourier saab kiiresti konstrueeritud kasutava arvuti "kiire" meetodil.

Variatsioonid Fourier

1. Enamasti kasutatakse seda terminit viitamaks pidev muutumine esitamata ruutsõltuvuses integrable ekspressiooni summana kompleksi eksponentsiaalse ekspressiooni spetsiifiliste nurgeliste sagedused ja amplituudid. See liik on mitmesuguses vormis, mis võib olla erinev konstantne koefitsiente. Pidev meetod hõlmab teisendustabel, mis võib leida matemaatiliste käsiraamatud. Üldistatud juhul on konversiooni murdosa, kusjuures see protsess saab tõsta soovitud tegelik võim.

2. pidevale meetodile on üldistus Varasemate tehnikat Fourier 'ridade defineeritud ükskõik perioodilise funktsiooni või väljendeid, mis eksisteerivad piiratud alal ja neid esindavad jadana sinusoidides.

3. diskreetsed Fourier. Seda meetodit kasutatakse arvuti teaduslikel arvutamine ja digitaalse signaalitöötluse. Teostada seda tüüpi arvutuse pea olema funktsioonina määramise kohta diskreetsetel üksikute punktide, perioodiline või piiratud piirkonna asemel pideva Fourier integraalid. Signaali muundamise sel juhul on esindatud siinussignaalide summat. Kasutamine "kiire" meetod võimaldab kasutada digitaalseid lahendusi puhtpraktilistel.

4. aknas Fourier on üldine vaade klassikaline meetod. Erinevalt standard lahendusi kui signaali spektri kasutamisel, mis on võetud kõiki olemasolu selle muutuja on eriti huvi siin on ainult kohaliku sageduse jaotamise säilitades algse muutuja (aeg).

5. kahemõõtmeline Fourier. Seda meetodit kasutatakse töötada kahemõõtmelised massiivid andmeid. Sellisel juhul on muundumine toimub ühes suunas ja seejärel - teistel.

järeldus

Täna Fourier meetod on kindlalt juurdunud erinevates valdkondades teaduse. Näiteks 1962. aastal avati kuju DNA kaksikheeliksi Fourier 'analüüsi koostoimes röntgenkiirte difraktsiooni. Hiljutised kristallid keskendunud DNA kiududest, mille tulemuseks on pilt, mis saadakse difraktsiooni, registreeriti kile. Selle pildi saatis informatsioon amplituudi väärtust kasutades Fourier sellele kristallstruktuur. Faas andmete võrdlemisel saadud DNA difraktsiooni kaarte kaarte, mis saadakse analüüsi sarnased keemilised struktuurid. Selle tulemusena bioloogide taastati kristallstruktuur - esialgse funktsiooni.

Fourier mängida suur roll uuringu kosmose füüsika pooljuhtmaterjalide ja plasma, mikrolaineahi akustika, okeanograafia, radar, seismoloogia ja arstliku läbivaatuse.