Crameri meetod ja selle rakendamine

Crameri meetod on lineaarsete algebraliste võrrandite (SLAE) süsteemide lahendamise täpne meetod . Selle täpsus tuleneb süsteemi maatriksi determinantide kasutamisest ning teoreemi tõendamise käigus kehtestatud teatud piirangutest.

Lineaarsete algebralike võrrandite süsteem, mille koefitsiendid kuuluvad näiteks R-reaalarvude hulka, tundmatutest x1, x2, ..., xn on vormi avaldiste kogum

Ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi jaoks i = 1, 2, ..., m, (1)

Kus aij, bi on reaalarvud. Kõiki neid väljendeid nimetatakse lineaarvõrrandiks, aij - tundmatute koefitsiendid, võrrandite kahetahulised koefitsiendid.

Süsteemi (1) lahendus on n-dimensiooniline vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), mis süsteemi asemele asemel tundmatute x1, x2, ..., xn asemel muutuvad süsteemi kõik ridad tõeliseks võrdsuseks .

Süsteem on ühine, kui sellel on vähemalt üks lahendus ja see on kokkusobimatu, kui selle lahendus langeb kokku tühja komplektiga.

Tuleb meeles pidada, et Crameri meetodi abil lineaarsete algebralike võrrandite süsteemide lahenduse leidmiseks peavad süsteemi maatriksid olema ruudukujulised, mis tähendab sisuliselt sama arvu tundmatute ja võrrandite arvu süsteemis.

Seega, Crameri meetodi kasutamiseks tuleb vähemalt teada, mis on lineaarsete algebralike võrrandite süsteemide maatriks ja kuidas see välja kirjutatakse. Ja teiseks, mõista, mida nimetatakse maatriksi determinandiks ja tean oskusi selle arvutamiseks.

Oletame, et teil on need teadmised. Imeline Siis peate lihtsalt meeles pidama Crameri meetodi määravaid valemeid. Meeldetuletuse lihtsustamiseks kasutame järgmist märget:

• Det on süsteemi maatriksi põhiline determinant;

• Deti on maatriksi determinant, mis saadakse süsteemi peamistest maatriksitest, kui ma asendame maatriksi i-ndat veergu veergude vektoriga, mille elemendid on lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide paremad küljed;

• N on tundmatute ja võrrandite arv süsteemis.

Siis saab n-dimensioonilise vektori x i-nda komponendi xi (i = 1, ... n) arvutamiseks Crameri reegli kirjutada kujul

Xi = deti / Det, (2).

Det on rangelt mitte null.

Süsteemi lahutus unikaalsus, kui see ühildub, tagab, et süsteemi peamine determinant on null. Vastasel korral, kui summa (xi) ruudus on rangelt positiivne, siis ruutmaatriksiga SLAE on ebajärjekindel. See võib juhtuda eelkõige siis, kui vähemalt üks deti erineb nullist.

Näide 1 LAURI kolmemõõtmelise süsteemi lahendamiseks kasutage Crameri valemeid.
X1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Lahendus. Kirjutame välja süsteemiliini maatriksi joone järgi, kus Ai on maatriksi i-line rida.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1 1).
Vabade koefitsientide veerg b = (31 29 10).

Det süsteemi põhiline determinant on
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Det1 arvutamiseks kasutame asendust a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. Siis
Det1 = a1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = -81.

Samamoodi kasutatakse det2 arvutamiseks asendust a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 ja vastavalt det3 arvutamiseks a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Siis saate kontrollida det2 = -108 ja det3 = -135.
Crameri valemite järgi leiame x1 = -81 / (-27) = 3, x2 = -108 / (-27) = 4, x3 = -135 / (-27) = 5.

Vastus on: x ° = (3,4,5).

Selle reegli kohaldatavuse tingimuste alusel saab Crameri lineaarset võrrandisüsteemide lahendamise meetodit kasutada kaudselt, näiteks uurimaks võimaliku lahenduste arvu süsteemi, sõltuvalt mõne parameetri k suurusest.

Näide 2. Määratlege, milliste parameetri k väärtuste jaoks on ebavõrdsus | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 on täpselt üks lahendus.

Lahendus.
See ebavõrdsus funktsiooni mooduli määratluse alusel saab rahuldada ainult siis, kui mõlemad väljumised on üheaegselt nulliga võrdsed. Seetõttu vähendab see probleem lahenduste leidmiseks algebralike võrrandite lineaarses süsteemis

Kx - y = 4,
X + ky = -4.

Selle süsteemi lahendus on ainulaadne, kui selle peamine määraja
Det = k ^ {2} + 1 ei ole null. Loomulikult on see tingimus täidetud parameetri k kõikide tegelike väärtuste korral.

Vastus: kõigi parameetri k väärtuste tegelike väärtuste korral.

Selliste probleemide korral võib vähendada ka matemaatika, füüsika või keemia valdkonna praktilisi probleeme .