Pendli: perioodi ja kiirenduse valemi

Mehaaniline süsteem, mis koosneb materjalist punkti (keha), mille küljes ripub kaaluta Venimatu hõõgniidi (selle mass on tühine, võrreldes keharaskust) ühtses gravitatsiooniväli, mida nimetatakse matemaatilise pendli (teine nimi - ostsillaatori). On ka muid tüüpi seadmeid. Selle asemel, et hõõgniidiga kaalutu varras saab kasutada. Pendel võib selgelt esile sisuliselt palju huvitavaid nähtusi. Kui väike amplituud vibratsioone oma resolutsiooni nimetatakse harmoonilise.

Üldine informatsioon mehaanilise süsteemi

Valem võnkumise perioodi pendli aretatud Hollandi teadlane Huygens (1629-1695 gg.). See kaasaegne Isaac Newton oli väga kiindunud mehaanilise süsteemi. 1656 lõi ta esimese kella pendel mehhanism. Nad mõõdeti aega äärmise täpsusega neile korda. See leiutis oli suur samm arengus füüsikalised eksperimendid ja praktilised tegevused.

Kui pendel on tasakaaluline asendis (vertikaalselt rippuma), siis Gravitatsioonijõud tasakaalustab lõnga tõmbejõud. Flat pendli kohta venimatu lõngad on süsteem kahe vabadusastmega side. Kui muutuvad vaid üks komponent muutmata omadused kõik selle osad. Näiteks, kui lõime asendatakse vitsaga siis see mehaaniline süsteem on ainult 1 vabadusaste. Mis siis, omadusi matemaatilise pendli? Selles lihtsa süsteemi mõjul perioodilise häirituse, kaos ilmub. Sellisel juhul, kui peatamise punkt ei liigu ja võngub pendel on uue tasakaalu positsiooni. Kui kiire kõikumisega üles ja alla seda mehaaniliste süsteem muutub stabiilses asendis "tagurpidi." Samuti on selle nime. Seda nimetatakse Kapitza pendel.

Omadused pendel

Pendulum on väga huvitavaid omadusi. Kõik nad toetavad tuntud füüsikaseaduste. Võnkeperioodi pendli muu sõltub erinevatest asjaoludest nagu suurus ja kuju keha vaheline kaugus riputuskohast ja raskuskeskme, kaalujaotuse suhtes selles küsimuses. See on ka põhjus, miks keha rippuvad perioodi on üsna keeruline. Kas palju lihtsam arvutada perioodi lihtne pendel, mille valemis on esitatud allpool. Selle tulemusena jälgides nende mustrite saab määrata sarnaste mehaaniliste süsteemide:

• Kui säilitades samal pikkus pendel, peatatud erinevaid koormusi, periood võnkumine saada sama, kuigi nende kaal varieerub suuresti. Järelikult perioodi pendli ei sõltu koormuse kaalust.

• Kui süsteem hakkab vähenema pendel ei ole liiga suur, kuid erinevate nurkade, see kõigub aasta sama perioodiga, kuid erinevatel amplituudidega. Kuigi kõrvalekalded kesklinnas tasakaalu ei ole liiga suuri kõikumisi nende abil saab piisavalt lähedal harmooniline. Ajavahemik sellise pendli ei sõltu vibratsioonide amplituudi. See majutusasutus mehaanilise süsteemi nimetatakse isochronism (kreeka "Chronos" - aeg "Izosov" - võrdsed).

Periood lihtne pendli

See arv moodustab loomuliku võnkeperioodiga. Vaatamata kompleksi moodustumist, protsess ise on väga lihtne. Kui pikkus lõng matemaatilise pendli L ja raskuskiirendus g, selle väärtus on võrdne:

T = 2π√L / g

Väikesed perioodi omavõnku- mingil moel ei sõltu pendli mass ja võnkumise amplituudi. Sel juhul kui matemaatiline pendel liigub piiratud pikkusega.

Võngete matemaatiline pendel

Matemaatiline pendel võngub, mida võib kirjeldada lihtsa diferentsiaalvõrrandit:

x + ω2 sin x = 0,

kus x (t) - tundmatu funktsiooniga (see nurk kõige madalamal positsioonil Tasakaalu ajal t, väljendatuna radiaani); ω - positiivne konstant, mis määratakse parameetrid pendli (ω = √g / L, kus g - raskuskiirendus ja L - pikkus lihtsa pendli (suspensioon).

Võrrandisse väikeste võnkumiste paigale tasakaaluasendisse (harmooniliste võrrandi) järgmiselt:

x + ω2 sin x = 0

Võnkuva liikumise pendli

Pendel, mis muudab väikeste võnkumiste, liigub sinusoid. Teist järku diferentsiaalvõrrandit vastab kõikidele nõuetele ja parameetrid sellise liikumise. Et teha kindlaks tee pead määrata kiiruse ja koordinaatide mis hiljem määratakse sõltumatu konstandid:

x = a sin (θ ₀ + ωt),

kus θ ₀ - algfaas, A - võnkeamplituud ω - tsüklilised sageduse määrati võrrandid algatusel.

Pendli (valemiga suuremõõtmeliste amplituudid)

See mehaaniline süsteem, täidavad oma võnkumisi suure amplituudiga, see sõltub keerulisem liikluseeskirja. neid arvutatakse vastavalt valemile sellise pendli:

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

kus SN - sine Jacobi, kes u <1 on perioodiline funktsioon ja väikeste u see kattub lihtne trigonomeetriliste sine. Väärtus u määratakse järgmise valemi abil:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

kus ε = E / ML2 (ML2 - pendli energia).

Määramine mittelineaarse võnkeperiood pendli järgmine valem:

T = 2π / Ω,

kus Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptiline lahutamatu, π - 3,14.

pendli liikumist separatrix

See kutsus separatrix trajektoori dünaamiline süsteem, kus kahemõõtmeline faasiruumis. Liigub pendel kedagi perioodiliselt. Aastal lõpmata palju ajahetkel see langeb pealmised positsiooni poole nullkiirusega, ja siis on tasapisi. Ta lõpuks peatunud, tagasi algasendisse.

Kui võnkeamplituud pendli läheneb arvu pi, öeldakse, et liikumismugavust faasitasandil lähedasel separatrix. Sel juhul toimel väike perioodilise jõuks mehaanilise süsteemi eksponeerib kaootiline käitumine.

Kui lihtne pendli tasakaaluasendist nurga cp toimub tangentsiaaljõu Fτ = Mg sin φ raskust. "Minus" märk tähendab, et tangentsiaaltasapind komponendi suunatakse vastupidises suunas suunast kõrvalekalle pendli. Viidates via pendli nihe x piki ringkaarega raadiusega L on võrdne selle nurganihkega φ = x / L. Teine seadus Isaaka Nyutona, mõeldud projektsioon kiirenduse vektori ja tugevuse saada soovitud väärtus:

mg τ = Fτ = -Mg sin x / L

Põhinedes sellel suhtega, siis on selge, et pendli on mittelineaarne süsteem, kui jõud, mis kipub tagasi oma tasakaaluasendi, ei ole alati võrdeline nihe x, et sin x / L.

Ainult siis, kui matemaatiline pendel sooritab väike vibratsioon, see on harmooniline ostsillaator. Teisisõnu, see muutub mehaanilise süsteemi võimeline täitma harmooniline võnkumine. See ühtlustamise kehtib peaaegu nurk 15-20 °. Pendulum suure amplituudi ei ole harmooniline.

Newtoni väikeste võnkumiste pendel

Kui mehaaniline süsteem toimib väikeste võnkumiste, 2. Newtoni näeb välja selline:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Selle põhjal võime järeldada, et tangentsiaalkiirendus lihtsa pendel on võrdeline selle nihke märgiga "miinus". See on seisund, mille korral süsteem muutub harmoonilise ostsillaatori. Moodul proportsionaalsuse tegur vahel nihke ja kiirenduse võrdub ruudu ringsagedus:

ω02 = g / l; ω0 = √ g / L.

See valem kajastab omavõnkesagedusega väikeste võngete sedalaadi pendli. Selle põhjal

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Arvutused põhinevad jäävuse seadus energia

Omadused Oscillating pendli liikumist saab kirjeldada abiga õiguse energiasäästlikkus. Tuleb meeles pidada, et potentsiaalne energia pendli on gravitatsiooniväli on:

E = mgΔh = MgI (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Full mehaanilise energia võrdub kineetilise ja maksimaalset võimalikku: Epmax = Ekmsx = E

Kui olete kirjutanud õiguse energiasäästlikkus, võttes tuletis vasakul ja paremal küljel võrrandi:

Ep + Ek = const

Kuna tuletis konstandid on võrdne 0, siis (Ep + Ek) '= 0. tuletis summa võrdub summaga derivaadid:

Ep = (mg / L * x2 / 2) '= mg / 2L * 2x * x' = mg / L * v + Ek '= (mv2 / 2) = m / 2 (v2)' = m / 2 * 2v * v '= mv * α,

seega:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.

Tuginedes viimase valemiga leiame: α = - g / l * x.

Praktiline kohaldamine matemaatiline pendel

Kiirendus vaba langemisega varieerub laius sest tihedus maakoore ümber planeedi ole identsed. Kui kivimid tekivad suurema tihedusega, siis veidi suurem. Kiirendus matemaatilise pendli kasutatakse sageli uurimist. Oma abi otsima erinevaid mineraalaineid. Lihtsalt loendades võngete pendel on võimalik tuvastada sütt või maagi maapõugi. See on tingitud asjaolust, et need vahendid on tihedus ja kaal rohkem kui pikali all lahtised kivid.

Matemaatiline pendel kasutada selliseid tuntud teadlased, nagu Socrates, Aristoteles, Platon, Plutarchos, Archimedes. Paljud neist uskusid, et mehhaaniline süsteem võib mõjutada saatust ja elu. Archimedes kasutatud matemaatiline pendel oma arvutused. Tänapäeval on paljud occultists ja psühholoogia kasutada seda mehaanilise süsteemi rakendamise oma ettekuulutusi või otsida kadunud inimest.

Kuulus Prantsuse astronoom ja teadlane, Flammarion nende uuringute kasutatakse ka matemaatilise pendli. Ta väitis, et tema abiga suutis ennustada avastamist uue planeedi tekkimist Tunguska meteoriit ja muid olulisi sündmusi. Ajal Teist maailmasõda Saksamaal (Berliin) töötas instituudist pendli. Tänapäeval, nagu teadus ei ole kättesaadav München Instituut parapsühholoogia. Tema töö pendli töötajad selle institutsiooni nimega "radiesteziey".