Kuidas arvutada püramiidi ala: alus, pool ja täis?

Kui kasutate matemaatikas USE-i, peavad õpilased süstematiseerima teadmisi algebra ja geomeetria kohta. Ma tahan ühendada kogu teadaoleva teabe, näiteks püramiidi pinna arvutamise kohta. Ja alustades alust ja külgedest kuni kogu pinna piirkonnani. Kui olukord külgtega on selge, sest need on kolmnurgad, on alus alati erinev.

Kuidas olla püramiidi aluse pindala leidmisel?

See võib olla mingi kuju: meelevaldne kolmnurk n-goniks. Ja see alus, välja arvatud nurkade erinevus, võib olla õige arv või vale. Kooliõpilaste huvi pakkuvates kooliülesannetes ilmnevad ainult töökohad, millel on baasil õiged andmed. Seetõttu me räägime neist vaid.

Parempoolne kolmnurk

See on ühepoolne. Kõigi osapoolte võrdne ja tähistatud tähega "a". Sellisel juhul arvutatakse püramiidi aluse pindala järgmise valemi abil:

S = (a ² * √3) / 4.

Ruut

Selle piirkonna arvutamise valem on kõige lihtsam, siin on "a" jälle külg:

S = a ² .

Meelevaldne regulaarne n-gon

Polügiooni küljel on sama märge. Nurkade arvuks kasutage ladina tähte n.

S = (n * a ² ) / (4 * tg (180 ° / n)).

Mida ma peaksin tegema külg- ja täispinna ala arvutamisel?

Kuna baasil on õige number, on püramiidi kõik küljed võrdsed. Pealegi on igaüks neist võrratu kolmnurk, kuna külgmised servad on võrdsed. Siis, selleks et arvutada püramiidi külgpinda, vajame valemit, mis koosneb identsete monomeeride summast. Mõistete arv määratakse baasi külgede arvuga.

Jõedes kolmnurga pindala arvutatakse valemiga, mille poolest aluse poolest korrutatakse kõrgusega. See püramiidi kõrgus nimetatakse apophemaks. Selle nimetus on "A". Külgpinna pindala üldine valem on järgmine:

S = ½ P * A, kus P on püramiidi aluse ümbermõõt.

On olukordi, kus aluse küljed ei ole teada, kuid selle külgmised servad (c) ja tipp (α) on tasane nurk. Seejärel peaks püramiidi külgpinna arvutamiseks kasutama sellist valemit:

S = n / 2 * ² sin α .

Ülesande number 1

Seisund. Leidke püramiidi kogupindala, kui sellel on võrdne kolmnurk küljega 4 cm ja apophema väärtus on √3 cm.

Lahendus. See algab baasi perimeetri arvutamisega. Kuna see on regulaarne kolmnurk, siis P = 3 * 4 = 12 cm. Kuna apopheem on teada, saame kohe arvutada kogu külgpinna pinda: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm ² .

Alumisel kolmnurks saame järgmise ala väärtuse: (4 ² * √3) / 4 = 4√3 cm ² .

Kogupindala määramiseks tuleb lisada kaks tulemust: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm ² .

Vastus. 10√3 cm ² .

Ülesanne nr 2

Seisund . Seal on regulaarne nelinurkne püramiid. Aluse külje pikkus on 7 mm, külgmine serv on 16 mm. On vaja teada selle pinna pindala.

Lahendus. Kuna polüheter on nelinurkne ja korrapärane, asub selle aluses ruut. Olles saanud teada aluse ja külgede pindalast, on võimalik püramiidi ala arvestada. Ruutu valem on antud ülal. Ja külgmised küljed on teada kolmnurga kõikidest külgedest. Seetõttu võite oma alade arvutamiseks kasutada Geroni valemit.

Esimesed arvutused on lihtsad ja viivad selleni: 49 mm ² . Teise väärtuse jaoks peate arvutama semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Nüüd saame välja arvutada võrratu kolmnurga ala: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ² ) = √ 2985,9375 = 54,644 mm ² . Selles kolmnurgas on ainult neli, nii et lõpliku numbri arvutamisel peate seda korrutama 4-ga.

Selgub: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm ² .

Vastus . Soovitud väärtus on 267.576 mm ² .

Ülesanne number 3

Seisund . Regulaarse nelinurkse püramiidi puhul on vaja ala välja arvutada. Ta teab ruudu külge - 6 cm ja kõrgus - 4 cm.

Lahendus. Lihtsaim viis on kasutada valemit perimeetri ja apteegi tootega. Esimest väärtust on lihtne leida. Teine on natuke keerulisem.

Pean tuletama meelde Pythagorase teoreemi ja pidama ristkülikukujulist kolmnurka. Selle moodustab püramiidi ja apophema kõrgus, mis on hüpotenuus. Teine samm vastab ruudu poolele poolele, sest polüheidi kõrgus ulatub selle keskele.

Soovitud apopheem (parempoolse kolmnurga hüpotenuus) on √ (3 ² + 4 ² ) = 5 (cm).

Nüüd saame arvutada vajaliku koguse: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ² ).

Vastus. 96 cm ² .

Ülesanne number 4

Seisund. Arvestades regulaarset kuusnurka püramiidi. Selle aluse küljed on 22 mm, külgmised ribid on 61 mm. Mis on selle polühedrilise külgpinna ala?

Lahendus. Selle argumendid on samad, mis on kirjeldatud 2. ülesandes. Ainult seal anti püramiidi, mille alt on ruut, ja nüüd on see kuusnurk.

Esimene samm on aluspinna arvutamine vastavalt ülaltoodud valemile: (6 * 22 ² ) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 cm ² .

Nüüd on vaja teada võrratu kolmnurga poolringi, mis on külgpind. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. See jääb vastavalt Heroni valemile, et arvutada iga sellise kolmnurga pindala, seejärel korrutada see kuuega ja lisada see alusele välja pandud.

Arvutused, kasutades Heroni valemit: √ (72 * (72-22) * (72-61) ² ) = √435600 = 660 cm ² . Arvutused, mis annavad külgpinna pinda: 660 * 6 = 3960 cm ² . Järele jääb nende lisamine, et välja selgitada kogu pind: 5217.47 ≈ 5217 cm ² .

Vastus. Alused on 726 × 3 cm2, külgpind 3960 cm2, kogupind 5217 cm2.